오일러 상수 감마

◎ 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707~1783)
역사에서 천재라 불리는 사람은 많다. 사실 너무 많아서 이제는 천재라는 표현이 다소 진부하게 느껴질 지경이다. 이 책의 저자 줄리언 해빌(Julian Havil)은 천재라는 단어를 지나치게 사용하면 그 의미가 엷어지고 저자의 판단도 의심받을 것이라 염려하면서도 오일러에 대해 이렇게 말한다. “오일러보다 이 단어가 더 잘 어울리는 사람은 없으며, 따라서 만일 그를 천재라고 할 수 없다면 다른 사람들도 모두 천재가 아니고 어떤 천재도 아직 태어나지 않았다고 봐야 한다.” 오일러에 대해 쓴 저자의 과도한 찬사라 여긴다면, 누구도 천재임을 부정할 수 없는 ‘수학의 왕자’ 가우스(Gauss)의 표현을 보자. “수학의 여러 분야에서 최고의 가르침을 오일러의 업적에 대한 연구에서 얻을 수 있으며 다른 무엇으로도 대체할 수 없다.” 라플라스(Laplace)의 의견은 어떤가? “오일러를 읽고 또 읽어라. 그는 우리 모두의 스승이다.”
그러나 오일러는 천재 하면 생각나는 이미지 - 괴팍스러움, 극도로 내성적인 성격, 정신질환, 거만함, 음울함, 방탕함 - 와는 거리가 멀었다. 오히려 그는 자상하고 너그러운 성격이었고 긍정적인 눈으로 세상을 바라보았다. 또한 자기 자신에게 무서울 만큼 엄격하여 평생 왕성하게 활동하면서 놀라운 업적들을 계속해서 내놓았다. 지금껏 알려진 오일러의 책과 논문은 모두 873편에 이르는데, 이는 수학과 역학의 이론과 응용 분야를 합쳐 1726년부터 1800년까지 발행된 전체 연구 저작물의 1/3 정도에 해당한다. 그의 전집 《오페라 옴니아(Opera Omnia)》는 현재 300쪽에서 600쪽에 이르는 74권의 책으로 구성되어 있으며 앞으로 적어도 7권이 더해져야 한다. 오일러의 업적이 얼마나 방대했던지 수학계에는 “제대로 되었다면 정리와 법칙 가운데 절반은 오일러의 이름이 붙었어야 한다”라는 농담이 있다(오일러의 시대에는 학적 성과를 먼저 알려서 우선권을 확립하려는 경쟁이 치열하지 않아 이름이 잘못 붙여진 사례가 많았다).
오일러는 단순히 업적을 많이 내놓는 데 그친 것이 아니라 손을 댄 모든 것을 찬란히 빛나게 만들었다. 우선 그는 오늘날 사용하는 수학기호를 많이 고안해 냈다. 자연로그의 밑(base)을 나타내는 ?, 허수의 단위 ??, 수열의 합 ∑, 함수 기호 , , 등이 그렇다. 또한 삼각형의 꼭짓점은 대문자, 이와 마주 보는 변은 소문자로 나타내는 관습도 그가 확립했다. 원주율 π를 처음 사용한 사람은 윌리엄 존스였지만 오일러에 의해 표준적인 표기법으로 굳어졌다. 이 밖에 오일러각, 오일러삼각형, 오일러식, 오일러원, 오일러회로, 오일러-마스케로니상수 등 목록은 끝없이 이어진다.
또한 오일러는 기하학, 미적분학, 그리고 수론에 결정적인 기여를 했으며, 라이프니츠의 미분학과 뉴턴의 유율법을 수리해석학으로 통합하고 미분방정식에 베타함수와 감마함수, 적분인자를 도입했다. 이 밖에 연속체역학, 달 이론, 탄성, 음향학, 빛의 파동, 유체역학 등 물리학에서도 뛰어난 업적을 남겼다.
놀라운 사실은 오일러가 좌절할 만큼 어려운 여건을 극복하면서 이 모든 것을 이루어 냈다는 점이다. 일찍이 오일러는 1735년 심한 열병을 앓은 뒤 눈에 문제가 생겨 1738년경에는 오른쪽 눈의 시력을 거의 잃었고, 백내장으로 왼쪽 눈의 시력까지 약해져 1766년경에는 완전히 맹인이 되었다. 수학자에게 실명은 사형선고와도 같다. 그러나 오일러는 자신에게 닥친 불행을 담담하게 받아들였고, 초능력에 가까운 기억력과 암산력을 바탕으로 수학 비서 역할을 하는 아들들과 제자들의 도움을 받아 왕성한 연구를 계속했다. 그가 완전한 암흑 속에서 내놓은 업적의 양은 그의 전체 작업의 절반에 달한다!

이 책의 특징은 무엇보다 ‘역사적 접근법’이라 할 수 있다. 수학의 실제적 기법들을 소개하되, 그것들이 처음 개발되었던 때의 역사적 맥락 안에서 다루기 때문이다. 저자가 택한 역사적 맥락은 18세기이며, 이 시대를 풍미한 천재 레온하르트 오일러는 앞으로 전개될 수학을 위해 새로운 언어와 기법을 창조했다. 이 책은 오일러의 인성과 그의 아이디어들을 중심으로 이야기를 풀어 간다.
수학에 나오는 상수들 가운데 π, e 가 가장 친숙하다. 그 뒤를 잇는 상수 감마(γ)는 수학의 여러 분야에서 등장하지만 아직도 깊은 신비를 간직하고 있다. 저자는 수학과 역사를 교묘히 엮으면서 독자를 감마를 정의하는 두 요소, 곧 로그와 조화급수의 세계로 끌어들인다. 오일러가 처음 소개한 감마는 으로 정의되며, 그 값은 선뜻 호감이 가지 않는 0.5772156…이다. 감마는 교대조화급수, 해석학, 수론 등 여러 영역에서 놀라운 방식으로 등장한다. 하지만 π나 ?와는 달리 감마의 정확한 값은 신비에 싸여 있으며, 심지어 그 값이 유리수인지 무리수인지도 아직 모른다. 오죽했으면 고트프리 해럴드 하디(Godfrey Harold Hardy)는 감마가 무리수임을 증명하는 사람에게 옥스퍼드에서 자신이 차지하고 있던 서빌기하학석좌교수직을 내놓겠다고 제안했을까!
이 책은 여러 가지 수학 기호들과 수식의 사용을 기피하지 않는다. 이에 대해 저자는 이렇게 말한다. “만일 기피한다면 우리는 수학에 대해 이야기할 수 있을 뿐 실제로 수학을 배우지는 못할 것이기 때문이다. 다만 고도의 기법은 거의 사용하지 않을 것이며 오히려 간단한 아이디어들을 고도로 활용하는 경우가 더 많다 … 따라서 독자들은 여러 군데에서 종이와 필기구를 쓸 채비를 갖추어야 한다. 수학은 보면서 즐기는 경기가 아니기 때문이다!” 그렇다고 해서 이 책이 접근하지 못할 만큼 어려운 것은 아니다. 저자는 역사적 접근법을 통해 흥미를 더하면서도 다소 어려울 수 있는 주제들을 쉽게 전달한다. 그러므로 깊이가 없는 수학 대중서로는 만족할 수 없는 사람이나 교과서의 건조함과 형식성에 체념한 사람은 이 책에서 자신들이 찾던 것을 발견할 수 있을 것이다.

◎ 프리먼 다이슨의 서문
이 책은 전문 수학자를 위해 쓰이지 않았다. 고등학교와 대학교에서 수학을 배우는 학생들을 위한 책이고, 이들을 가르치는 분들을 위한 책이다. 이 책은 수학이 얼마나 사람을 매혹시킬 수 있는지를 보여 주는 훌륭한 영감이 어린 책이다.
수학은 흔히 어렵고 따분하다고 여겨진다. 많은 사람들이 될 수 있으면 이를 피하며, 그 결과 대다수 사람들이 수학적 문맹, 곧 수맹(數盲)이 되고 말았다. 이는 부분적으로 우리 문화가 기본적인 계산능력의 중요성을 상대적으로 낮게 보기 때문이기도 하고, 학생들에게 수학을 제시하는 방법에 문제가 있기 때문이기도 하다. 이런 점에서 우리는 학창 시절 또는 그 이후의 사람들에게 수학을 가르치는 데에 가장 널리 쓰이는 두 가지 주요 방법이 이런 결과를 낳았다고 말할 수 있다.
첫째는 이른바 ‘신병훈련소’ 방식으로 문제풀이를 중요시한다. 그러면 학생들은 여러 시험에 대한 준비는 잘 갖출 수 있지만 수학에 대한 진정한 이해는 일궈 내지 못할 가능성이 높다. 이런 방법으로는 수학에 내재된 아름다움과 희열을 만끽하도록 학생들을 이끌 수 없다.
둘째는 이른바 ‘새 수학(New Math)’이라고 부르는 방식이다. 이것은 내 아이들이 학교에 다닐 무렵 유행처럼 번졌으며, 옛 방식이 깊이도 없고 재미도 없다는 비판에서 유래했다. 새 수학은 어린이들이 실제적 문제들의 해법을 배우기 전에 현대적인 수학 개념들을 이해해야 한다는 생각에 기반을 두고 있다. 이에 따라 학생들은 집합과 관계를 먼저 배운 다음 곱셈과 나눗셈을 숙달한다. 다시 말해서 학생들은 실체에 대한 이해 없이 현대수학의 용어들부터 배우는 셈이다. 이와 같은 새 수학이 소개되고 얼마간의 세월이 흐르자 수학적 문맹도는 급감했다.
하지만 이보다 더 성공적인 제3의 방법은 없을까? 나는 그런 방법이 있다고 믿으며, 해빌 박사가 쓴 이 책이 바로 어디서 그 길을 찾을 것인지 보여 준다. 이 제3의 길은 ‘역사적 접근법’이라고 부를 수 있다. 학생들에게 실제적 기법들을 가르치되, 그것들이 처음 개발되었던 때의 역사적 맥락 안에서 다루기 때문이다.
해빌 박사는 배워야 할 역사적 맥락으로 18세기를 택했는데, 이는 올바른 선택이다. 18세기에는 고등수학의 아이디어와 기법들이 모두 일상생활의 문제들로부터 자연스럽게 이끌려 나왔다. 추상적인 순수수학과 실제적인 응용수학이라는 선명한 현대적 구별은 아직 없었다. 이 시대를 풍미한 천재 레온하르트 오일러는 이후 전개될 수학을 위해 새로운 언어와 방식을 창조했다. 이 책은 오일러의 인성 및 후대의 수학자들이 깊이 숙고하며 사용할 그의 아이디어들을 중심으로 이야기를 풀어 간다. 오일러의 아이디어는 마음 편히 다가설 수 있을 만큼 쉬우면서도 진정한 수학의 아름다움을 절감하게 할 만큼 깊기도 하다.
수학을 배우다 보면 자주 그렇듯, 독자들이 약간의 노력만 기울이면 이 책에서 아이디어로 가득 찬 세계를 만나게 될 것이다. 이 책은 수학의 몇 가지 주제에 대한 해설이나 오일러의 천재성이 드러나는 예들을 늘어놓는 데에 지나지 않는 수준을 훨씬 뛰어넘는다. 수학이 중요하고 흥미롭고 아름답다는 생각을 조금이라도 가진 사람이라면 이 책이 영감으로 넘치면서도 매우 즐길 만하다는 점을 깨닫게 될 것이다.
끝으로 이 책을 읽을 교사들과 학생들에게 말한다. 여기에 최상의 포도주가 즐비한 찬장이 있다. 자, 들이키자!

역사적 교육법(학습법)

이 책은 일반적인 교양수학 책들과 달리 수식이 상당히 많아서 언뜻 부담스럽게 여겨진다. 그러나 전반적으로 치밀한 사전 설계 아래 진행되므로 고교 상급생부터 대학 교양과정 정도의 수학 지식을 가진 사람이라면 너무 위축되지 않는 한 충분히 깊은 맛을 음미할 수 있다. 사실 하나의 상수 ‘감마’를 통해 이토록 넓은 범위를 섭렵할 수 있다는 것은 이 책과의 만남에서 얻는 뜻밖의 행운이라 하겠고, 이를 가능하게 한 지은이의 역량과 노력에 많은 찬사를 보낸다.
이 밖에 또 한 가지 주목할 중요한 특징으로, 지은이는 여러 가지 주제의 역사와 배경에 대해서도 지면이 허락하는 한 많은 이야기를 실었다는 점을 들겠다. 흔히 “수학은 엄밀한 논리적 학문”이란 생각에 가려 이런 이야기들의 중요성을 잘 깨닫지 못한다. 그러나 참으로 강조하건대 인간이 영위하는 학문으로 ‘인간적 학문’이 아닌 것은 없다. 미국의 저명한 수학저술가 이브스(Howard Whitley Eves, 1911∼2004)도 “수학적 개념의 진정한 이해를 역사적 연원의 분석 없이 얻을 수는 없다”라고 썼는 바, “수학은 수많은 천재들의 땀과 노력과 애환이 서린 지극히 인간적인 학문”이란 점을 잘 헤아리면 수학 자체에 대해서도 더욱 깊은 이해에 이를 수 있음을 절감하게 될 것이다.
이 점에 대해서는 ‘추천의 글’을 쓴 프리먼 다이슨도 같은 견해를 피력했다: “… 더 성공적인 제3의 방법은 없을까? 나는 그런 방법이 있다고 믿으며, 해빌 박사가 쓴 이 책이 바로 어디서 그 길을 찾을 것인지 보여 준다. 이 제3의 길은 ‘역사적 접근법’이라고 부를 수 있다. 학생들에게 실제적 기법들을 가르치되, 그것들이 처음 개발되었던 때의 역사적 맥락 속에서 다루기 때문이다.” 요약하자면 “흔히 자연과학 지식은 객관적이고 논리적이어서 이해하고 펼치는 데에 개인차가 별로 없으리라 여기지만, 인간이 영위하는 학문은 모두 ‘인간적 학문’이란 점에서 본질적으로 아무 차이가 없으며, 따라서 인문과학과 자연과학을 막론하고 인간적으로 ‘자기화한 지식’만이 진정한 지식이다”라고 말할 수 있다.
도서출판 ‘승산’에서는 이미 이 책의 주제와 밀접하게 관련된 《소수의 음악》과 《리만가설: 베른하르트 리만과 소수의 비밀》을 내놓았다. 따라서 위의 ‘역사적 접근법’에 비춰보면 순서가 좀 바뀐 감이 있다. 하지만 이 책들은 내용이 조금 가벼우므로 이를 통해 흥미를 키우고 다시 이 책으로 깊이를 다지는 것도 좋으리라 여겨진다.